Thèse Etude Stochastique et Déterministe d'Une Représentation Pdmp de la Dynamique des Cellules dans les Cryptes Intestinales H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Technologie de Compiègne École doctorale : Sciences pour l'ingénieur Laboratoire de recherche : Laboratoire de mathématiques appliquées de Compiègne Direction de la thèse : Ghislaine GAYRAUD ORCID 000000208064530 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-09-30T23:59:59 L'objectif principal de ce projet est d'étudier un modèle de processus différentiels avec sauts (PDMP) introduit dans [6] pour simuler la dynamique de différents types de cellules dans les cryptes intestinales. Ce modèle stochastique a été proposé pour décrire, à l'échelle microscopique, le comportement de ces cellules. En particulier, les auteurs de [6] ont utilisé ce modèle pour dériver (rigoureusement) un modèle macroscopique et déterministe lorsque le nombre total de cellules, noté N, tend vers l'infini. Plus précisément, ils ont établi la limite de champ moyen (mean-field limit) de leur modèle PDMP. Cette approche les a conduits à introduire un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) non locales.

Cependant, si ce modèle déterministe permet une bonne compréhension de la dynamique globale des cellules à l'intérieur des cryptes, les propriétés fines du modèle microscopique restent à explorer pleinement. Par conséquent, ce projet vise à aborder les quatre axes de recherche complémentaires suivants concernant le modèle PDMP de [6] :

(1) Reformulation et analyse théorique : Afin de mieux comprendre le modèle décrivant l'évolution des cellules épithéliales, nous proposons de le réécrire sous la forme d'une unique équation différentielle stochastique (EDS). Cette EDS intégrera des sauts aléatoires, un mouvement déterministe entre deux sauts successifs, ainsi qu'une mesure de transition. Une fois formulée, nous examinerons ses propriétés théoriques, en mettant l'accent sur l'étude de son comportement à long terme et la dérivation de sa distribution stationnaire.

(2) Estimation statistique : Étant donné que le taux de saut et la mesure de transition impliqués dans un PDMP sont généralement inconnus, nous proposerons des estimateurs pour ces quantités et évaluerons leur performance en termes de convergence (consistance), de distribution asymptotique et de dérivation du risque d'estimation.

(3) Validation numérique et simulation : Pour valider empiriquement l'efficacité de nos résultats de convergence et des estimateurs proposés, nous réaliserons une étude de simulation. Compte tenu de la complexité du modèle, cela pourrait impliquer le développement de nouveaux schémas numériques. Nous étudierons ensuite la convergence de l'approche numérique vis-à-vis du modèle proposé. De plus, nous effectuerons une analyse de sensibilité pour comprendre comment les variations des paramètres du modèle affectent les résultats prédits, ouvrant ainsi la voie à des applications concrètes.

(4) Analyse de la convergence et vitesse de convergence : Dans [6], la limite de champ moyen est obtenue grâce à des méthodes de compacité. À l'inverse, nous proposons de revisiter ce résultat en dérivant des vitesses de convergence explicites, dépendant de N, entre les solutions des systèmes microscopique et macroscopique. De telles estimations sont utiles pour déterminer pour quelles valeurs de N le modèle déterministe et macroscopique constitue, dans un certain sens, une bonne approximation du modèle stochastique et microscopique. Naturellement, les résultats obtenus dans cette direction pourraient être illustrés numériquement grâce aux méthodes élaborées au point (3) et à des schémas numériques adaptés aux systèmes d'EDP non locales. Les PDMP ont été largement étudiés, tant du point de vue théorique qu'appliqué [1].
En particulier, leur popularité a augmenté ces dernières années dans divers domaines biologiques [15]. L'étude des propriétés intrinsèques des PDMP a permis d'améliorer la compréhension
des phénomènes du monde réel qu'ils modélisent. Certaines des propriétés théoriques comme leur comportement à long terme lorsque le temps ou lorsque le nombre de sauts augmente [2] reste des problèmes difficiles.
De tels résultats englobent la description de la distribution limite des PDMP et des mesures
invariantes caractérisant leur équilibre. D'un point de vue statistique, certaines études proposent des estimateurs ainsi que la dérivation de leur performance pour le taux de saut et, s'ils sont aléatoires, les paramètres impliqués dans la mesure de transition [10].
Pour des applications pratiques, encoder les PDMP est capital mais loin d'être simple, car la complexité des modèles réels rend la simulation de leurs trajectoires dicile. Il est donc nécessaire de développer de nouveaux schémas numériques pour approximer les PDMP complexes tout en fournissant des garanties théoriques de convergence vers leur équivalent exact [2]. Une autre possibilité pour simuler ces modèles en pratique est d'étudier leurs limites de champ moyen. Ces limites fournissent, grossièrement parlant, une description déterministe et macroscopique des dynamiques globales des systèmes décrits par les PDMP [4]. Ces phénomènes macroscopiques peuvent ensuite être simulés efficacement grâce à des schémas numériques bien adaptés (schémas aux différences finies, schémas aux volumes finis, etc.). L'objectif principal de ce projet est d'étudier un modèle de processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP) introduit dans [6] pour modéliser la dynamique de différents types de cellules dans les cryptes intestinales. Dans ce contexte et pour cet objectif, le projet vise à aborder les quatre directions de recherche complémentaires suivantes sur le modèle PDMP de [6] :

(1) Pour mieux comprendre le modèle qui décrit l'évolution des cellules épithéliales, nous proposons de le reformuler sous la forme d'une seule Équation Diérentielle Stochastique (EDS). Cette EDS incorporera des sauts aléatoires, un mouvement déterministe entre les sauts successifs, et une mesure de transition. Une fois formulée, nous examinerons ses propriétés théoriques, avec un focus particulier sur l'investigation de son comportement à long terme et la dérivation de sa distribution stationnaire.
(2) Étant donné que le taux de saut et la mesure de transition impliqués dans un PDMP sont généralement inconnus, nous fournirons des estimateurs de ces quantités et évaluerons leurs performances en termes de distribution asymptotique de la consistance et de la
dérivation du risque d'estimation.
(3) Pour valider empiriquement l'ecacité de nos résultats de convergence et des estimateurs proposés, nous mènerons une étude de simulation. Étant donné la complexité du modèle, cela peut impliquer le développement de nouveaux schémas numériques. Nous étudierons ensuite la convergence de l'approche numérique vers le modèle proposé. De plus, nous réaliserons une analyse de sensibilité pour comprendre comment les changements dans les paramètres du modèle aectent les résultats prédits, ouvrant ainsi la voie à des applications.
(4) Dans [6], la limite de champ moyen est obtenue grâce à certaines méthodes de compacité. Au lieu de cela, nous proposons de réexaminer ce résultat en dérivant des taux de convergence explicites, en fonction de N, entre les solutions des systèmes microscopiques et macroscopiques. De telles estimations sont utiles pour comprendre pour quelles valeurs de N le modèle déterministe
et macroscopique est une bonne approximation, dans un certain sens, du modèle stochastique et microscopique. Bien sûr, les résultats obtenus dans cette direction pourraient être illustrés numériquement grâce aux méthodes obtenues au point (3) et à des schémas
numériques bien adaptés pour les systèmes non locaux d'EDP

Master en Mathématiques Appliquées.
Connaissances en probabilité, statistique et modèles mathématiques déterministes
Langage: scilab or python or R

• Statistiques