Thèse Identifications de Sources par des Méthodes Algébriques et Stochastiques avec Application à l'Imagerie Médicale H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Technologie de Compiègne École doctorale : Sciences pour l'ingénieur Laboratoire de recherche : Laboratoire de mathématiques appliquées de Compiègne Direction de la thèse : Salim BOUZEBDA ORCID 0000000178014945 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-07-31T23:59:59 Cette thèse a pour objectif de développer une nouvelle génération de méthodes mathématiques pour l'identification de sources en imagerie médicale, en combinant des approches algébriques, stochastiques et issues de l'intelligence artificielle. L'identification précise de sources à partir de mesures indirectes constitue un problème inverse majeur, dont les applications sont nombreuses en électroencéphalographie (EEG), magnétoencéphalographie (MEG), imagerie photoacoustique (PAT) et thermoacoustique (TAT), où elle contribue notamment à la localisation de foyers épileptogènes ou de cellules cancéreuses.
Les méthodes algébriques développées au sein du LMAC ont démontré leur efficacité pour reconstruire rapidement des sources ponctuelles ou de petite taille à partir de modèles gouvernés par les équations de Maxwell, de Boltzmann ou d'autres équations aux dérivées partielles. Toutefois, les données expérimentales étant inévitablement affectées par des erreurs de mesure, du bruit et des incertitudes sur les paramètres physiques, il devient indispensable d'intégrer une modélisation probabiliste afin d'améliorer la robustesse et la fiabilité des procédures d'identification.La thèse proposera ainsi un cadre mathématique unifié associant méthodes algébriques, analyse stochastique, optimisation numérique et inférence statistique pour la résolution de problèmes inverses sous incertitude. Les modèles développés permettront de prendre en compte des perturbations aléatoires, de quantifier les incertitudes associées aux reconstructions et de construire des régions de confiance pour la localisation des sources. Une attention particulière sera portée à l'étude théorique des modèles, à l'analyse de stabilité, à l'élaboration d'algorithmes efficaces ainsi qu'à leur validation numérique.Le projet explorera également l'apport des méthodes modernes d'apprentissage automatique afin de pallier la faible disponibilité de données expérimentales. Des techniques d'augmentation de données fondées sur les réseaux antagonistes génératifs (GANs), les autoencodeurs variationnels (VAEs) et d'autres modèles génératifs seront étudiées afin d'améliorer les performances des algorithmes d'identification et leur capacité de généralisation.À l'interface des mathématiques appliquées, des probabilités, des statistiques, de l'optimisation et de l'intelligence artificielle, cette thèse ambitionne de produire des avancées théoriques originales ainsi que des outils numériques robustes pour l'aide au diagnostic médical et à la décision thérapeutique. Elle s'inscrit dans une dynamique interdisciplinaire associant problèmes inverses, calcul scientifique et science des données, avec des retombées attendues tant sur le plan fondamental que sur les applications biomédicales. L'identification de sources constitue une classe fondamentale de problèmes inverses intervenant dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur, de la physique mathématique et de l'imagerie biomédicale. Elle consiste à reconstruire la position, la géométrie, l'intensité ou encore la dynamique de sources inconnues à partir de mesures indirectes, généralement acquises à la frontière d'un domaine ou au moyen de capteurs externes. Ces problèmes sont, par nature, mal posés au sens de Hadamard : l'existence, l'unicité ou la stabilité de la solution ne sont pas toujours garanties, et de faibles perturbations des données peuvent engendrer des erreurs importantes dans la reconstruction.Dans le domaine médical, ces difficultés sont particulièrement marquées. En électroencéphalographie et en magnétoencéphalographie, l'objectif est notamment de localiser des foyers épileptogènes à partir de mesures électriques ou magnétiques enregistrées à la surface du crâne. En imagerie photoacoustique et thermoacoustique, il s'agit de détecter et de caractériser des régions biologiques présentant des propriétés d'absorption particulières, telles que certaines zones tumorales. Dans ces contextes, la précision de la localisation revêt une importance clinique majeure, puisqu'elle peut contribuer à améliorer le diagnostic, à orienter une intervention chirurgicale ou à affiner une stratégie thérapeutique.Les modèles mathématiques sous-jacents reposent sur des équations aux dérivées partielles issues de la physique, notamment les équations de Maxwell, les équations de Boltzmann, les équations de Helmholtz ou encore différents modèles de propagation d'ondes. Le problème direct consiste à déterminer les mesures produites par une source donnée, tandis que le problème inverse vise à retrouver cette source à partir des observations disponibles. Les méthodes classiques de résolution reposent souvent sur des procédures itératives d'optimisation ou de régularisation. Bien qu'efficaces dans de nombreuses situations, ces approches peuvent être coûteuses en temps de calcul, sensibles à l'initialisation et fortement dépendantes du choix des paramètres de régularisation.Dans ce contexte, les méthodes algébriques directes développées au sein du LMAC constituent une alternative particulièrement prometteuse. Elles permettent d'identifier des sources ponctuelles, multipolaires ou de petite extension au moyen de relations explicites dérivées des modèles physiques, sans recourir systématiquement à des schémas itératifs lourds. Ces méthodes ont déjà conduit à des résultats significatifs en électroencéphalographie, en magnétoencéphalographie, ainsi qu'en imagerie thermoacoustique et photoacoustique. Elles ont également permis d'établir des résultats de stabilité et de proposer des algorithmes numériques rapides pour la reconstruction de sources localisées.Toutefois, les approches déterministes ne rendent compte que partiellement de la complexité des données réelles. Les mesures médicales sont affectées par des bruits instrumentaux, des erreurs de calibration, des perturbations physiologiques, des approximations géométriques et des incertitudes sur les paramètres des modèles. En outre, la variabilité interindividuelle et le nombre parfois limité d'observations disponibles rendent nécessaire l'introduction d'un cadre probabiliste et statistique. L'enjeu scientifique consiste alors à ne plus considérer la source, les données et le modèle comme parfaitement connus, mais à intégrer explicitement l'aléa dans la formulation du problème inverse.La thèse s'inscrit précisément dans cette perspective. Elle vise à construire un cadre unifié combinant méthodes algébriques, modélisation stochastique, inférence statistique, optimisation et analyse numérique. L'objectif est de développer des procédures de reconstruction robustes capables de prendre en compte les incertitudes, de quantifier l'erreur associée à l'identification et de fournir, au-delà d'une estimation ponctuelle, des régions ou des zones de confiance pour la localisation des sources. Une telle démarche suppose d'étudier les propriétés théoriques des modèles stochastiques considérés, notamment l'identifiabilité, la stabilité, la consistance des estimateurs, leur comportement asymptotique et leur sensibilité aux perturbations.Cette problématique s'inscrit plus largement dans le développement actuel des problèmes inverses statistiques et de la quantification des incertitudes. Dans ces domaines, l'objectif n'est plus seulement de reconstruire une solution, mais également d'évaluer son degré de fiabilité. Cela implique de combiner les outils de l'analyse fonctionnelle, des probabilités, des processus stochastiques, de la statistique mathématique et du calcul scientifique. Le caractère interdisciplinaire de cette approche est particulièrement adapté aux applications médicales, où la décision finale doit reposer sur des résultats à la fois précis, interprétables et assortis d'indicateurs quantitatifs de confiance.Par ailleurs, la rareté ou le coût élevé des données expérimentales constitue une difficulté importante en imagerie médicale. La thèse examinera ainsi l'apport des méthodes modernes d'apprentissage automatique et d'intelligence artificielle, notamment pour l'augmentation de données et l'amélioration de la robustesse des algorithmes de reconstruction. Des modèles génératifs, tels que les réseaux antagonistes génératifs et les autoencodeurs variationnels, pourront être mobilisés afin de produire des données synthétiques réalistes, d'enrichir les jeux d'apprentissage et d'améliorer la capacité de généralisation des méthodes proposées. Ces outils devront cependant être intégrés dans un cadre mathématique rigoureux afin d'éviter une utilisation purement empirique et de préserver l'interprétabilité des résultats.Ainsi, cette thèse se situe à l'interface de plusieurs domaines majeurs des mathématiques appliquées : problèmes inverses, équations aux dérivées partielles, méthodes algébriques, processus stochastiques, statistique, optimisation, apprentissage automatique et imagerie médicale. Son ambition est double : approfondir la compréhension théorique des problèmes inverses de sources sous incertitude et développer des outils numériques fiables susceptibles de contribuer à l'aide au diagnostic et à la décision clinique.

Le candidat ou la candidate devra être titulaire d'un Master en mathématiques appliquées, mathématiques, statistique ou dans une discipline connexe. De solides connaissances en analyse, algèbre linéaire, probabilités, statistique, équations aux dérivées partielles et calcul scientifique sont attendues.Une expérience en problèmes inverses, optimisation, processus stochastiques, apprentissage automatique ou imagerie médicale constituera un atout. Une bonne maîtrise de la programmation scientifique, notamment en Python, MATLAB ou C/C++, est souhaitée.Rigueur scientifique, autonomie, capacité d'analyse, aptitude au travail en équipe et bon niveau d'anglais scientifique sont indispensables.

• Statistiques
• Python
• C++
• Programmation
• Anglais
• Travail en équipe
• Intelligence artificielle
• Autonomie
• Maxwell
• Machine learning
• Esprit d'analyse
• MATLAB
• Mathématiques